Halaman
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK1844.6 Aturan Sinus dan CosinusPada subbab 4.2 – 4.5 telah kita kaji dan temukan konsep perbandingan trigonometri untuk sembarang segitiga siku-siku. Kita dengan mudah menentukan nilai sinus, cosinus, dan perbandingan trigonometri lainnya meskipun segitiga siku-siku tersebut dikaji berdasarkan posisi kuadran. Pertanyaan akan muncul, bagaimana menggunakan konsep perbandingan trigonometri tersebut pada suatu segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, atau bahkan pada suatu sembarang segitiga? Pertanyaan ini merupakan ide untuk mengkaji subbab 4.6 ini. Sebagai pengetahuan tambahan selain konsep yang sudah kita miliki di atas, perlu kita kenalkan istilah garis tinggi dan garis berat pada sembarang segitiga. Perhatikan gambar berikut.Gambar 4.36 (i) BD merupakan salah satu garis tinggi dan (ii) BEmerupakan garis berat ∆ABCADCACBEBUntuk setiap segitiga sembarang, Garis tinggi adalah suatu garis yang dibentuk dari suatu sudut dan berpotongan tegak lurus dengan sisi di hadapannya.Garis berat adalah suatu garis yang dibentuk dari suatu sudut dan memotong sisi di hadapannya menjadi dua bagian yang sama panjang.Definisi 4.2Dengan definisi tersebut, silakan tarik garis tinggi dan garis berat segitiga pada Gambar 4.36. Selanjutnya, untuk menemukan bagaimana menerapkan konsep perban-dingan trigonometri untuk setiap segitiga sembarang, coba cermati masalah berikut ini.
Matematika185Masalah 4.11Diberikan suatu segitiga sembarang, seperti pada Gambar 4.37 di bawah ini.Misalkan PR = q satuan, PQ = r satuan, dan RQ = p satuan, dengan p ≠ q ≠ rserta ∠P atau ∠Q atau ∠R tidak satupun 0o dan 90o.PRQqprGambar 4.37 Segitiga sembarang PQR, dengan ∠P ≠∠Q ≠ ∠RBentukan garis tinggi dari setiap sudut segitiga PQR dan temukan hubungan antar garis berat tersebut.Alternatif PenyelesaianKarena setiap segitiga sembarang memiliki tiga sudut, maka didapat membentuk tiga garis tinggi pada segitiga tersebut.a. Garis tinggi yang dibentuk dari∠PGaris tinggi yang dibentuk dari sudut ∠P dideskripsikan pada Gambar 4.38.Perhatikan ∆PRS dan ∆PQS . Gambar 4.38 Garis tinggi yang dibentuk dari ∠PPqpRSxp – xrQ
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK186Kita dapat menuliskan bahwasin ∠R =PSPRatau PS = PR× sin ∠R = q ×sin∠R. (1)sin ∠Q =PSPQatau PS = PQ× sin ∠Q = r ×sin∠Q. (2)Dari (1) dan (2), kita memperolehr ×sin∠Q = q× sin ∠R ↔ ∠∠rqRQ=sin sin (3)Selain itu, kita juga dapat menuliskan bahwacos ∠R =RSxPRq=atau x = q× cos ∠R. (4)Kita masih fokus pada ∆PRS dan ∆PQS dengan menggunakan Teorema Pythagoras, dapat dituliskanr2 = (p – x)2 + q2 – x2 dan q2 = x2 + (PS)2 atau (PS)2 = q2 – x2Akibatnya kita perolehr2 = (p – x)2 + q2 – x2↔ r2 = p2 – 2px + x2 + q2 – x2 = p2 + q2 – 2px(5)Dengan (4), maka (5) berubah menjadir2 = p2 + q2 – 2.p.q.cos ∠R. (6)b. Garis tinggi yang dibentuk dari∠QGaris tinggi yang dibentuk dari sudut ∠Q dideskripsikan pada Gambar 4.39. Perhatikan ∆PQT dan ∆RQT.Gambar 4.39 Garis tinggi ∆PQR yang dibentuk dari ∠QRQpqTryq – yP
Matematika187Dengan mudah kita menemukan bahwasin ∠P =PTPQatau QT = PQ× sin ∠P = r ×sin∠P(7)sin ∠R =QTRQatau QT = RQ× sin ∠R = p ×sin∠R(8)Dari (7) dan (8), diperolehp ×sin∠R = r× sin ∠P ↔ ∠∠rpRP=sin sin (9)Selain itu, kita juga dapat menemukan bahwacos ∠P =PTyPQr=atau y = r× cos ∠P. (10)Kita masih fokus pada ∆PQT dan ∆RQT, dengan Teorema Pythagoras, diperoleh bahwap2 = (q – y)2 + (QT)2 dan r2 = y2 + (QT)2 atau (QT)2 = r2 – y2Akibatnya, kita perolehp2 = (q – y)2 + r2 – y2↔ p2 = q2 – 2.q.y + y2 + r2 – y2 = q2 + r2 – 2.q.y (11)Dengan (10), maka (11) menjadip2 = q2 + r2 – 2.q.r.cos ∠P. (12)c. Garis tinggi yang dibentuk dari∠RGaris tinggi yang dibentuk dari ∠R dideskripsikan pada Gambar 4.40.Perhatikan ∆PRU dan ∆RQU. Gambar 4.40 Garis tinggi ∆PQR yang dibentuk dari ∠RRPUrqpQ
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK188Kita dapat menemukan bahwasin ∠P = RUPR atauRU = PR× sin ∠P = q× sin ∠P(13)sin Q = RURQ atau RU = RQ× sin ∠Q = p× sin ∠Q(14)Dari (6e) dan (6f ), diperoleh q ×sin∠P = p× sin ∠Q ↔ ∠∠qpQP=sinsin(15)Selain itu, kita juga dapat menuliskan bahwacos ∠Q =UQzRQp=atau z = p× cos ∠Q(16)Kita masih fokus mencermati ∆PRU dan ∆RQU, dengan Teorema Pythagoras, kita dapat menuliskanq2 = (r – z)2 + (RU)2, danp2 = z2 + (RU)2 atau (RU)2 = p2 – z2Akibatnya, diperolehq2 = (r – z)2 + p2 – z2↔ q2 = r2 – 2.r. z + z2 + p2 – z2 = r2 + p2 – 2.r. z(17)Dengan (16), maka (17) menjadiq2 = r2 + p2 – 2.r. p.cos ∠Q(18)Jadi, dari (3), (9), dan (15), kita menemukan bahwa∠∠∠pqrPQr==sin sin sin Hal tersebut di atas sering dikenal istilah ATURAN SINUS.Selain itu, dari (6), (12), dan (18) juga kita menemukan bahwai. p2 = q2 + r2 – 2.q.r.cos ∠P atau cos ∠P = −qr pqr22 2+2. .
Matematika189ii. q2 = p2 + r2 – 2.p.r.cos ∠Q atau cos ∠Q = −pr qpr22 2+2. .iii. r2 = p2 + q2 – 2.p.q.cos ∠R atau cos ∠R = −pqrpq2 22+2. .Hal tersebut yang sering dikenal istilah ATURAN COSINUSUntuk membantu mengingatnya, kita jadikan sebagai sifat, seperti berikut.Sifat 4.7Untuk setiap segitiga, dengan BC = a, AC = b, AB = c, dengan sudut-sudutnya ∠C, ∠A dan ∠B, maka berlakuATURAN SINUS==∠∠∠abcABCsinsinsinATURAN COSINUSQRAPCBGambar 4.41 ∆ABC dengan tigagaris tinggi i. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos ∠A atau cos ∠A = 22 2−bcabc+2. .ii. b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cos ∠B atau cos ∠B = 22 2−acbac+2. .iii. c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos ∠C atau cos ∠C = 222−abcab+2. .Kemudian, kamu harus mampu menggunakan dengan efektif aturan sinus dan aturan cosinus di atas dalam memecahkan masalah.Coba uji pemahaman kamu dalam menggunakan Sifat 4.7.
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK190Contoh 4.15Jalan k dan jalan l berpotongan di kota A. Dinas tata ruang kota ingin menghubungkan kota B dengan kota C dengan membangun jalan m dan memotong kedua jalan yang ada, seperti yang ditunjukkan Gambar 4.42 di bawah. Jika jarak antara kota A dan kota C adalah 5 km, sudut yang dibentuk jalan m dengan jalan l adalah 70o dan sudut yang dibentuk jalan k dan jalan madalah 30o. Tentukan jarak kota A dengan kota B.ABCJalan mJalan lJalan kGambar 4.42 Jalan k, l, dan mAlternatif PenyelesaianUntuk memudahkan perhitungan, kita bentuk garis tinggi AD, dimana garis AD tegak lurus dengan garis BC, seperti pada Gambar 4.43.ADBCJalan mJalan lJalan kGambar 4.43 Segitiga ABC dengan garis tinggi D
Matematika191Dengan menggunakan konsep perbandingan trigonometri (Definisi 4.1), pada ∆ABC, dapat kita tuliskan bahwasin B = ADAB atau AD = AB× sin B (19)Sedangkan pada ∆ACD, kita perolehsin C = ADAC atau AD = AC× sin C (20)Dari persamaan (19) dan (20), kita peroleh bahwaAB× sin B = AC× sin C(21)Karena diketahui bahwa ∠C = 70o, ∠B = 30o, dan jarak AC = 5, dengan persamaan (21) diperolehAB× sin 30o = AC× sin 70o,AB = (××oo5 sin 705 0, 94)= sin 300, 5= 9,4 km.Jadi, jarak kota A dengan kota B adalah 9, 4 km.Contoh 4.16Diberikan segiempat, seperti pada Gambar 4.44. BD25.53.56sACGambar 4.44 Segiempat ABCD4Hitung nilai s.Alternatif PenyelesaianDengan Gambar 4.44, kita melihat ∆ADB, ∆ADC, dan ∆ABC
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK192Hal ini kita perlukan untuk menemukan nilai cos ∠DAB.Di sisi lain, ∠DAB =∠BAC +∠DAC.Artinya, dengan menemukan besar sudut ∠BAC dan ∠DAC, kita dapat menghitung nilai cos ∠DAB (mengapa harus menentukan cos ∠DAB?)Mari kita kaji ∆ABC.ACB265.5Gambar 4.45 Segitiga ABCDengan menggunakan Sifat 4.6 (Aturan Cosinus) −−∠222 222+6 + 2(5, 5)9, 75cos==== 0, 4062..2.(6).(2)24ACABBCBACAC ABDengan bantuan kalkulator atau tabel trigonometri, karena cos ∠BAC = 0,40625, maka besar ∠BAC = 66,03o.Sekarang, mari kita kaji ∆ADC.ACD643.5Gambar 4.46 Segitiga ADC.Dengan menggunakan Sifat 4.6 (Aturan Cosinus), kita perolehcos ∠DAC = −−ACADDCAC AD222 222+4 + 6(3, 5)= 2..2.4.6 = 0,82813Melalui kalkulator atau tabel trigonometri, diperoleh besar ∠DAC = 34,03oDengan demikian, besar ∠DAB = 66,03o + 34,03o = 100,06o
Matematika193Akibatnya, untuk menentukan panjang sisi s, kita perhatikan ∆ABD.cos ∠DAB = −ABADBDAB AD2 22+2..cos ∠DAB = −s2 224 +22.4.2Atau16.(cos 100,06o) = 20 – s2 ↔ 16(–0,174) = 20 – s2 ↔ –2784 = 20 – s2 ↔s2 = 22,784 ↔s= 22, 784 = 4,709 4.7 Grafik Fungsi Trigonometri Pada subbab ini, kita akan mengkaji bagaimana konsep trigonometri jika dipandang sebagai suatu fungsi. Mengingat kembali konsep fungsi pada Bab 3, fungsi f(x) harus terdefinisi pada daerah asalnya. Jika y = f(x) = sin x, maka daerah asalnya adalah semua x bilangan real. Namun, mengingat satuan sudut (subbab 4.1) dan nilai-nilai perbandingan trigonometri (yang disajikan pada Tabel 4.3), pada kesempatan ini, kita hanya mengkaji untuk ukuran sudut dalam derajat . Mari kita sketsakan grafik fungsi y = f(x) = sin x, untuk 0 ≤x≤ 2π.a. Grafik Fungsiy = sin x, dan y = cos x untuk 0 ≤x≤ 2πMasalah 4.12Dengan keterampilan kamu dalam menggambar suatu fungsi (Bab 3), gambar-kan grafik fungsi y = sin x, untuk 0 ≤x≤ 2π.Alternatif PenyelesaianDengan mencermati nilai-nilai sinus untuk semua sudut istimewa yang disajikan pada Tabel 4.3, kita dapat memasangkan ukuran sudut dengan nilai sinus untuk setiap sudut tersebut, sebagai berikut.DABs24Gambar 4.47 Segitiga ABD